수학자 오일러의 이름을 따 오일러 공식Euler’s Formula이라 불리는 공식으로, 지수에 복소수가 들어갈 수 있게하는 공식이며, 지수 함수와 삼각 함수 간의 연결점이다.
내가 이전에 알고있던 지식은 $\sin$, $\cos$, $e^x$의 명확한 정의와 오일러 공식 그 자체 뿐이었고 그 사이의 관계는 그저 그렇구나 하고 받아들이고 있었다.
$$ \sin x = \sum^\infty_{n=0}{\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}}\quad \cos x = \sum^\infty_{n=0}{\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}}\quad e^x = \sum^\infty_{n=0}{\frac{x^n}{n!}} $$$$ \ \ \updownarrow\ ? $$$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $$최근 고3 미적분 공부를 하며 $\sin$과 $\cos$, $e^x$($=exp(x)$)등을 보며 오일러 공식이 오랜만에 생각났고, 이 함수들의 간의 명확한 관계를 고민하게 됐다.
$$ \begin{align} e^x &= \sum^\infty_{n=0}{\frac{x^n}{n!}} \\ &= 1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \end{align} $$$$ \begin{align} e^{ix} &= \sum^\infty_{n=0}{\frac{(i\cdot x)^n}{n!}} \\ &= 1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots \\ &= \sum^\infty_{n=0}{\frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}} + \sum^\infty_{n=0}{\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}} \\ &= \sum^\infty_{n=0}{\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}} + \sum^\infty_{n=0}{\frac{i\cdot(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}} \\ &= \cos x + i\sin x \end{align} $$$f(x)=e^x$에 $ix$를 대입하자, 자연스럽게 $e^{i\theta} = \cos x + i\sin x$를 유도할 수 있었다.